Derivadas
A P R O B A R M A T E S 1
LIBRO 2 DE 10
Reglas de derivación, regla de la cadena y ejemplos
resueltos paso a paso.
Reglas básicas · Tabla de derivadas · Regla de la cadena · Producto y cociente · Errores
comunes
TEMAS EN ESTA GUÍA
TEO RÍ A
TA BL A
1. Definición y reglas básicas
f'(x) = lim
h→0
[f(x+h) − f(x)] / h
La derivada mide la pendiente de la recta tangente / la tasa de cambio instantánea de f en x.
Regla Fórmula
Constante (c)' = 0
Potencia
(x
n
)' = n·x
n−1
Suma / Resta (f ± g)' = f' ± g'
Producto (f·g)' = f'·g + f·g'
Cociente (f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
Regla de la cadena (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
2. Derivadas de funciones usuales
f(x) f'(x)
x
n
n·x
n−1
e
x
e
x
a
x
a
x
·ln(a)
ln(x) 1/x
log
a
(x)
1 / (x·ln a)
sen(x) cos(x)
cos(x) −sen(x)
tg(x) 1 / cos²(x) = sec²(x)
arcsen(x) 1 / √(1−x²)
arccos(x) −1 / √(1−x²)
arctg(x) 1 / (1+x²)
√x 1 / (2√x)
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CLAV E
EJE MP LO S
3. Regla de la cadena en cascada
Si tenés funciones compuestas encadenadas, derivá "de afuera hacia adentro" y
multiplicá todas las derivadas:
[f(g(h(x)))]' = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x)
4. Producto y cociente combinados
Ejemplo 1 — Cadena simple
f(x) = sen(x² + 1). Función externa: sen(u), interna: u = x² + 1.
Derivada externa: cos(u) = cos(x² + 1).
Derivada interna: u' = 2x.
Multiplicar: f'(x) = cos(x² + 1) · 2x.
Resultado: f'(x) = 2x·cos(x² + 1)
1.
2.
3.
4.
Ejemplo 2 — Cadena triple
f(x) = ln(cos(3x)). Capas: ln(u), u = cos(v), v = 3x.
Derivada de ln(u): 1/u = 1/cos(3x).
Derivada de cos(v): −sen(v) = −sen(3x).
Derivada de v = 3x: 3.
Multiplicar todo: f'(x) = [1/cos(3x)] · (−sen(3x)) · 3.
Resultado: f'(x) = −3·tg(3x)
1.
2.
3.
4.
5.
Ejemplo 3 — Producto
f(x) = x²·eˣ. Identificar u = x², v = eˣ.
u' = 2x, v' = eˣ.
Aplicar (uv)' = u'v + uv': f'(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ.
Factorizar eˣ: f'(x) = eˣ(2x + x²).
Resultado: f'(x) = eˣ·(x² + 2x)
1.
2.
3.
4.
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