Matrices y
Diagonalización
A P R O B A R M A T E S 1
LIBRO 5 DE 10
Operaciones, determinantes, inversa, autovalores/
autovectores y diagonalización.
Operaciones con matrices · Determinantes · Matriz inversa · Autovalores y autovectores ·
Diagonalización
TEMAS EN ESTA GUÍA
TA BL A
CLAV E
TEO RÍ A
1. Operaciones con matrices
Operación Regla clave
Suma A+B Se suman posición a posición; deben ser del mismo tamaño
Escalar k·A Se multiplica cada elemento por k
Producto A·B (m×n)·(n×p) = (m×p). Columnas de A = filas de B
Transpuesta A
T
Se intercambian filas por columnas
A·B ≠ B·A El producto de matrices NO es conmutativo en general
2. Determinantes
det(A) = a·d − b·c para A = [[a,b],[c,d]]
Para 3×3, usá la Regla de Sarrus: sumás los 3 productos de las diagonales "principales" y restás
los 3 productos de las diagonales "secundarias".
3. Matriz inversa
A es invertible ⟺ det(A) ≠ 0.
A
−1
= (1/det A) · Adj(A)
Para 2×2, A
−1
= (1/det A) · [[d,−b],[−c,a]] si A=[[a,b],[c,d]].
Ejemplo 1 — Determinante 3×3 (Sarrus)
A = [[1,2,0],[3,1,1],[0,2,1]].
Diagonales principales: (1·1·1) + (2·1·0) + (0·3·2) = 1 + 0 + 0 = 1.
Diagonales secundarias: (0·1·0) + (1·1·1) + (2·3·1) = 0 + 1 + 6 = 7.
det(A) = 1 − 7.
Resultado: det(A) = −6
1.
2.
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4.
Aprobar Mates 1 · Matrices y Diagonalización · página 2
CLAV E
TEO RÍ A
4. Autovalores y autovectores
Autovalores (λ): raíces del polinomio característico.
det(A − λI) = 0
Autovectores: vectores v≠0 tales que A·v = λ·v, es decir, soluciones no triviales de
(A−λI)v=0.
5. Diagonalización
A es diagonalizable si existe P invertible tal que:
A = P·D·P
−1
D es diagonal con los autovalores. P tiene como columnas los autovectores correspondientes (en el
mismo orden). Condición suficiente: si A tiene n autovalores distintos (n = tamaño de A), entonces
es diagonalizable.
Ejemplo 2 — Inversa 2×2
A = [[2,1],[1,1]]. det(A) = 2·1 − 1·1 = 1.
Como det≠0, A es invertible.
A
−1
= (1/1)·[[1,−1],[−1,2]].
Resultado: A
−1
= [[1,−1],[−1,2]]
1.
2.
3.
Ejemplo 3 — Autovalores 2×2
A = [[3,1],[0,2]]. Como A es triangular, sus autovalores son directamente los
elementos de la diagonal.
Polinomio característico: (3−λ)(2−λ) = 0.
Autovalores: λ
1
=3, λ
2
=2.
Resultado: λ = 3 y λ = 2
1.
2.
3.
Aprobar Mates 1 · Matrices y Diagonalización · página 3
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