Números
Complejos
A P R O B A R M A T E S 1
LIBRO 6 DE 10
Formas binómica, polar y exponencial. Operaciones,
De Moivre y raíces n-ésimas.
Forma binómica · Forma polar y exponencial · Operaciones · De Moivre · Radicación
TEMAS EN ESTA GUÍA
TEO RÍ A
TA BL A
EJE MP LO
1. Forma binómica
z = a + b·i i² = −1
a = parte real (Re z), b = parte imaginaria (Im z). El módulo es |z| = √(a²+b²) y el argumento θ =
arctg(b/a) (ajustado según el cuadrante).
2. Las tres formas de un complejo
Forma Expresión
Binómica z = a + b·i
Polar (módulo-argumento)
z = |z|
θ
= |z|(cos θ + i·sen θ)
Exponencial (Euler)
z = |z|·e
iθ
Conversión binómica → polar: |z| = √(a²+b²), θ = arctg(b/a) (corregido según
cuadrante de a,b).
Conversión polar → binómica: a = |z|·cos θ, b = |z|·sen θ.
3. Operaciones en forma binómica
Ejemplo 1 — Operaciones en forma binómica
z
1
= 2 + 3i, z
2
= 1 − i.
Suma: z
1
+z
2
= 3 + 2i.
Producto: z
1
·z
2
= (2+3i)(1−i) = 2 −2i +3i −3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.
División z
1
/z
2
: multiplicar num. y denom. por el conjugado de z
2
(1+i): [(2+3i)
(1+i)] / [(1−i)(1+i)] = (2+2i+3i−3)/2 = (−1+5i)/2.
Resultado: Suma=3+2i, Producto=5+i, División=−1/2 + (5/2)i
1.
2.
3.
4.
Aprobar Mates 1 · Números Complejos · página 2
CLAV E
CLAV E
TIP S
4. Potencias: fórmula de De Moivre
En forma polar, multiplicar es multiplicar módulos y sumar ángulos; dividir es
dividir módulos y restar ángulos.
z
1
·z
2
= |z
1
|·|z
2
|
(θ
1
+θ
2
)
5. Radicación (raíces n-ésimas)
z
1/n
= |z|
1/n
[(θ+2kπ)/n]
, k = 0, 1, ..., n−1
Hay exactamente n raíces n-ésimas distintas, distribuidas equiespaciadas (cada 360°/n) sobre una
circunferencia de radio |z|
1/n
.
6. Errores comunes
i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 y se repite cada 4 potencias.
Ejemplo 2 — Potencia con De Moivre
Calcular (1+i)
4
. Pasar a polar: |1+i| = √2, θ = 45° (π/4).
De Moivre: z
n
= |z|
n
(nθ)
.
(√2)
4
= 4, ángulo = 4·45° = 180°.
Resultado en polar: 4
180°
→ binómica: 4(cos180°+isen180°) = 4(−1+0i).
Resultado: (1+i)
4
= −4
1.
2.
3.
4.
Ejemplo 3 — Raíces cúbicas de la unidad
Hallar las raíces cúbicas de z = 1 (módulo 1, ángulo 0°).
Módulo de cada raíz: 1
1/3
= 1.
Ángulos: (0+2kπ)/3 para k=0,1,2 → 0°, 120°, 240°.
Raíces: 1
0°
, 1
120°
, 1
240°
.
Resultado: 1 ; −1/2+(√3/2)i ; −1/2−(√3/2)i
1.
2.
3.
4.
•
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