Álgebra de
Polinomios y
Fracciones
Simples
A P R O B A R M A T E S 1
LIBRO 7 DE 10
División, Ruffini, factorización y descomposición en
fracciones simples.
Operaciones básicas · División y Ruffini · Teoremas de raíces · Fracciones simples
TEMAS EN ESTA GUÍA
TEO RÍ A
CLAV E
MÉT OD O
1. Operaciones básicas
Un polinomio P(x) = a
n
x
n
+ ... + a
1
x + a
0
tiene grado n (mayor exponente con
coeficiente no nulo).
Suma/resta: se agrupan términos semejantes (mismo grado).
Producto: se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro
(propiedad distributiva) y se suman exponentes.
2. División de polinomios
3. Regla de Ruffini y búsqueda de raíces
Regla de Ruffini: división rápida por (x−a). Se usan solo los coeficientes.
P(x) = (x−a)·Q(x) + r si r=0, entonces a es raíz de P
Ejemplo 1 — División de polinomios
Dividir P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 por (x − 3).
x³ ÷ x = x² → x²·(x−3) = x³−3x². Resto parcial: (−2x²+3x²) −5x+6 = x² −5x +6.
x² ÷ x = x → x·(x−3) = x²−3x. Resto parcial: (−5x+3x)+6 = −2x+6.
−2x ÷ x = −2 → −2·(x−3) = −2x+6. Resto: 6−6 = 0.
Cociente: x² + x − 2, resto 0 → (x−3) es factor exacto.
Resultado: P(x) = (x−3)(x² + x − 2)
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Ejemplo 2 — Ruffini
P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6, probar a = 1 (posible raíz: divisor del término
independiente 6).
Coeficientes: 1, −2, −5, 6. Bajar el 1.
1·1=1; −2+1=−1. −1·1=−1; −5+(−1)=−6. −6·1=−6; 6+(−6)=0 → resto 0.
a=1 es raíz. Cociente: x² − x − 6, que factoriza como (x−3)(x+2).
Resultado: P(x) = (x−1)(x−3)(x+2)
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Aprobar Mates 1 · Álgebra de Polinomios y Fracciones Simples · página 2
TEO RÍ A
CLAV E
TIP S
4. Teoremas útiles para factorizar
Teorema de la raíz racional: si P tiene coeficientes enteros, toda raíz racional p/q
cumple que p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal.
Teorema fundamental del álgebra: todo polinomio de grado n tiene exactamente
n raíces (reales o complejas, contando multiplicidad).
5. Descomposición en fracciones simples
Antes de descomponer, el grado del numerador debe ser menor que el del
denominador (si no, dividí primero).
6. Errores comunes
Probá primero los divisores del término independiente como posibles raíces
enteras (±1, ±2, ±3...).
Ejemplo 3 — Fracciones simples (raíces reales simples)
Descomponer (3x+5) / [(x−1)(x+2)].
Plantear: (3x+5)/[(x−1)(x+2)] = A/(x−1) + B/(x+2).
Multiplicar todo por el denominador común: 3x+5 = A(x+2) + B(x−1).
x=1: 3+5 = A(3) → A = 8/3.
x=−2: −6+5 = B(−3) → B = 1/3.
Resultado: 8/3/(x−1) + (1/3)/(x+2)
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Ejemplo 4 — Raíz doble
Descomponer 1 / [(x−1)²(x)].
Plantear: 1/[(x−1)²x] = A/x + B/(x−1) + C/(x−1)².
1 = A(x−1)² + Bx(x−1) + Cx.
x=0: 1 = A(1) → A=1. x=1: 1 = C(1) → C=1.
Comparar coef. de x²: 0 = A+B → B = −1.
Resultado: 1/x − 1/(x−1) + 1/(x−1)²
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